S1 =1 cm (počiatočná veľkosť)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...
Môžeme tu pozorovať vzor. Veľkosť škrupiny v každej fáze sa získa pridaním 1/3 veľkosti predchádzajúcej fázy.
Všeobecne platí, že veľkosť škrupiny v ng fáze môže byť vyjadrená ako:
SN =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
Aby sme určili počet škrupín, ktoré krabie prístrešky (s výnimkou počiatočného obalu), musíme nájsť hodnotu N, pre ktorú Sn ≥ 10 cm.
10 cm ≤ sn
10 cm ≤ s1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Dokážeme rozpoznať výraz vo vnútri zátvoriek ako súčet geometrickej série s prvým termínom 1 a spoločným pomerom 1/3. Súčet geometrickej série je uvedený v:
SUM =A1 / (1 - R), kde A1 je prvý termín a R je spoločný pomer.
Pripojenie do A1 =1 a r =1/3, dostaneme:
Sumu =1/(1 - 1/3) =3/2
Preto
10 cm ≤ s1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
To znamená, že krab odloží svoju škrupinu, keď dosiahne veľkosť približne 6,67 cm.
Na určenie počtu škrupín musíme nájsť hodnotu N tak, aby SN ≥ 6,67 cm.
6,67 cm ≤ s1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
6,67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Pretože súčet geometrickej série je 3/2, máme:
6,67 cm ≤ s1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
To znamená, že krab odloží svoju škrupinu, keď jeho veľkosť prekročí 4,45 cm.
Teraz musíme určiť počet stupňov alebo moltov, ktoré krab podstúpi skôr, ako jeho veľkosť presiahne 4,45 cm.
Počnúc S1 =1 cm môžeme vypočítať následné fázy nasledovne:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Vidíme, že S4 je väčší ako 4,45 cm. Krab sa preto počas prechodu z tretej fázy (S3) do štvrtej etapy (S4) vyhodí svoj škrupinu.
Krab bude mať vyliatie 3 škrupiny (s výnimkou počiatočného plášťa) v čase, keď jeho veľkosť prekročí 10 cm.